பரப்பளவு குறித்த உண்மைகள்

வாய்பாட்டில் வரும் வர்க்கப் பெருக்கல் அதாவது

1 × 1 = 1

2 × 2 = 4

3 × 3 = 9

4 × 4 = 16

… … … என்ற அனைத்தும் சதுரத்தின் பரப்பளவைக் குறிக்கும். மீதி அனைத்தும் செவ்வகத்தின் பரப்பளவைக் குறிக்கும். இதைத்தான் நேற்று பார்த்தோம். மீதி அனைத்தும் என்றால் மேற்கூறியவற்றில் அடங்காத அனைத்தும். உதாரணமாக

2 × 3 = 6 என்பது இரண்டு அலகு நீளமும் மூன்று அலகு அகலமும் கொண்ட செவ்வகத்தின் பரப்பு. கீழே உள்ள படத்தைப் பாருங்கள்.

நீளம் 3 அலகு இருக்கிறதா? அகலம் 2 அலகு இருக்கிறதா? இரண்டையும் பெருக்கினால் 6 வருகிறதா? உள்ளே அத்தனை சதுரக் கட்டங்கள்தானே இருக்கின்றன. இந்த ஒரு உதாரணமே போதும் என்று நினைக்கிறேன்.

இருந்தாலும் இன்னொன்று சொல்லுங்கள் என்று நீங்கள் கேட்பது புரிகிறது. ஏனென்றால் ஒன்றை ஏற்றுக் கொள்வதற்கு முன் ஒன்றுக்கு இரண்டு முறை பரிட்சீத்துப் பார்த்து விடுவதும் நல்லதுதான்.

இப்போது 5 × 4 = 20 ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இப்போது நாம் எடுத்தக் கொண்டது 5 அலகு நீளமும் 4 அலகு அகலமும் கொண்ட செவ்வகம். இதற்கான படத்தை இந்நேரம் நீங்கள் மனக்கண்ணில் போட்டுப் பார்த்திருப்பீர்களே. இதோ உங்கள் மனக்கண்ணில் உருவான படம்

இந்த 5 க்கு 4 செவ்வகத்தைப் பாருங்களேன். உள்ளே இருக்கும் சதுரக் கட்டங்கள் 20 என்ற எண்ணிக்கையில்தானே இருக்கின்றன.

ஆக நாம் கண்டறிந்தது சரிதான். வாய்பாடு முழுவதும் சதுரங்களின் பரப்பளவாகவும் செவ்வகங்களின் பரப்பளவாகவும்தான் இருக்கின்றன. வாய்பாட்டின் ஒவ்வொரு படியைச் சொல்லும் போது நீங்கள் ஒரு சதுரத்தின் பரப்பையோ அல்லது செவ்வகத்தின் பரப்பையோத்தான் சொல்கிறீர்கள் என்பது உங்கள் நினைவில் இனி ஆழப் பதிந்து விடும்.

மேலே சொல்லியது போல முக்கோணத்தின் பரப்பு, வட்டத்தின் பரப்பு போன்றவை வாய்பாட்டில் இல்லையா என்று இப்போது உங்களுக்குச் சிந்தனை வந்திருக்குமே. சதுரம், செவ்வகம் போன்ற வடிவங்களில் அமையும் முழுமையான சதுரக் கட்டங்களை முக்கோணம் மற்றும் வட்டத்தில் நம்மால் எண்ண முடியாது என்பதால் வாய்பாட்டில் வரும் பெருக்கற்பலனின் குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் அவை அமையும். அதென்ன குறிப்பிட்ட விகிதம் என்றுதானே கேட்கிறீர்கள்?

அதற்கு முன் நாம் இன்னும் சிலவிசயங்களைப் பார்த்து விடுவோம். இன்னும் சில விசயங்கள் இருக்கின்றனவா? இன்னும் முடியவில்லையா என்றுதானே கேட்கிறீர்கள்.

இனி நாம் பார்க்கப் போவது அதில் அடங்கியிருக்கும் கணித உண்மைகளைத்தான். இப்போது நாம் சதுரத்தின் பரப்பளவு a × a அதாவது a² அதன் இயற்கணித கோவை வடிவத்தைப் பார்த்ததைப் போல செவ்வகத்தின் பரப்பளவிற்கான இயற்கணித கோவை வடிவத்தைக் காண வேண்டும் அல்லவா?நீங்களே சொல்லுங்களேன், செவ்வகத்தின் பரப்பளவிற்கான இயற்கணிதக் கோவை வடிவத்தை எப்படி அமைக்கலாம்? இரண்டு வேறுபட்ட எண்களைப் பெருக்குகிறோம் என்பதால் x × y அதாவது xy என்று அமைக்கலாமா என்றுதானே கேட்கிறீர்கள். ரொம்ப சரி.

ஆனால் இதற்கான மாறியை அதாவது நீங்கள் எடுத்துக் கொண்ட x ஐ l என்றும் y ஐ b என்றும் செவ்வகத்தைப் பொருத்த மட்டில் எடுத்துக் கொள்வார்கள். l என்பது length என்ற சொல்லின் முதல் எழுத்தையும் b என்பது breadh என்ற சொல்லின் முதல் எழுத்தையும் குறிப்பதால் அப்படி எடுத்துக் கொள்கிறார்கள். இது ஒரு வழக்காக இருப்பதால் நாமும் செவ்வகத்தின் பரப்பளவிற்கான இயற்கணிதக் கோவையை lb என்று அப்படியே எடுத்துக் கொள்வோம்.

அதெல்லாம் முடியாது, நான் xy என்றுதான் குறிப்பிடுவேன் என்றால் அதிலும் தவறொன்றுமில்லை. நீங்கள் x என்பது செவ்வகத்தின் நீளத்தையும் y என்பது செவ்வகத்தின் அகலத்தையும் குறிக்கும் என்று ஒவ்வொரு முறை செவ்வகத்தின் பரப்பளவு தொடர்பான கணக்குகளைச் செய்யும் போதெல்லாம் குறிப்பிட்டுக் கொண்டிருக்க வேண்டும். lb என்றே எழுதி விட்டால் நீங்கள் நீளத்தை l என்றும் அகலத்தை b என்றும் எடுத்துக் கொண்டீர்கள் என்பதைச் சொல்லாமலே புரிந்து கொள்வார்கள். அவ்வளவுதான் இதிலுள்ள விசயம்.

இப்போது நாம் முக்கியமான ஒரு கணித உண்மையை இதுவரைப் பார்த்ததிலிருந்து கண்டறிந்தாக வேண்டும். அதைக் கண்டறிந்தால்தான் நாம் மேற்கொண்டு முக்கோணம், வட்டம் என்று அதன் பரப்பளவு, சுற்றளவு குறித்து நகர முடியும்.

சதுரத்தின் பரப்பளவாக இருந்தாலும் சரிதான், செவ்வகத்தின் பரப்பளவாக இருந்தாலும் சரிதான் பரப்பளவைக் காண நாம் அடுத்தடுத்த பக்கங்களைப் பெருக்கிக் கொள்கிறோம்தானே. அட ஆமாம் என்கிறீர்களா?

ஆமாம் அதேதான். சதுரத்தை எடுத்துக் கொண்டால் அடுத்தடுத்த இரண்டு பக்கங்களைப் பெருக்கிக் கொள்கிறோம். செவ்வகத்தைப் பொருத்த வரையில் அடுத்தடுத்த இரண்டு பக்கங்களான நீளத்தையும் அகலத்தையும் பெருக்கிக் கொள்கிறோம். அப்படிப் பெருக்கினால் உள்ளே எத்தனை சதுரக் கட்டங்கள் அமையும் என்பதை நாம் கண்டறிந்துவிட முடியும்.

சதுரம், செவ்வகம்தான் என்றில்லை எந்த வடிவம் என்றாலும் அதன் பரப்பளவைக் காண அடுத்துள்ள பக்கங்களைப் பெருக்கினால் போதும். அதன் பரப்பளவு கிடைத்து விடும். இதுதான் இதில் நாம் தெரிந்து கொண்டுள்ள கணித உண்மை.

ஏன் இப்படி அடுத்தடுத்த பக்கங்களைப் பெருக்கிக் கொள்கிறோம் என்றால் சதுரம், செவ்வகம், முக்கோணம், வட்டம் என்ற அனைத்தும் இருபரிமாண வடிவங்கள். அதனால் இரண்டு பரிமாணங்களான அதன் அடுத்தடுத்த இரண்டு பக்கங்களைப் பெருக்கினால் போதும்.

அப்படியானால் முப்பரிமாண உருவங்கள் என்றால் அதன் கன அளவிற்கு அடுத்தடுத்த இரண்டு பக்கங்களோடு மூன்றாவது பரிமாணத்தைப் பெருக்கினால் போதுமா என்றால் சரியான கருத்தைப் பிடித்து விட்டீர்கள்.

ஆமாம் அப்படித்தான் முப்பரிமாண வடிவங்களின் மூன்றாவது பரிமாணம் உயரம்தானே. அதனால் எந்த முப்பரிமாண வடிவமாக இருந்தாலும் அதன் கன அளவைக் காண அடுத்தடுத்த பக்கத்தோடு உயரத்தைப் பெருக்கினால் போதும்.

பாருங்கள் ஒரு கணித உண்மையைக் கொண்டு அடுத்தடுத்த கணித உண்மைகளை நோக்கி நாம் எப்படி முன்னேறுகிறோம். இதன் அடிப்படையில் நீங்கள் கனச்சதுரத்தின் கனஅளவுக்கான சூத்திரத்தை சொல்லலாமே?

எப்படி? பக்கம் × பக்கம் × உயரம்தானே என்றுதானே கேட்கிறீர்கள். சரிதான். ஆனால் கனச்சதுரத்தின் அனைத்து பக்க அளவுகளும் சமமாக இருப்பதால் உயரமாக அமையும் பக்க அளவும் பக்கம் என்றுதானே அமையும். அதனால் அதன் கன அளவு என்பது பக்கம் × பக்கம் × பக்கம். அதாவது a × a × a அதாவது a³

அதே போல கனச்செவ்வகம் என்றால் நீளம் × அகலம் × உயரம்தானே என்று நீங்கள் கேட்பது புரிகிறது. சரிதான் l × b × h. அதாவது lbh. பரப்பளவில் சதுரக் கட்டங்களை எண்ணியது போல கன அளவில் கனச்சதுரக் கட்டங்களை எண்ணுவோம். அதனால் a³ என்று சொல்லும் போது a³ கன அலகு என்றும் lbh என்று சொல்லும் போது lbh கன அலகு என்பதையும் சேர்த்துக் கொள்ள வேண்டும். நாம் எடுத்துக் கொள்ளும் அலகு செ.மீ. என்றால் a³ கன செ.மீ. அதாவது a³ க.செ.மீ. எனவும் lbh க.செ.மீ. எனவும் குறிப்பிட வேண்டும். என்ன சரிதானே?

நாம் பார்த்த கணித உண்மையானது எந்த வடிவமாக இருந்தாலும் பொருந்தும். அதனால் இனி பரப்பளவு என்றால் அதன் அடுத்தடுத்த பக்கங்களைப் பெருக்கினால் போதும் என்ற கணித உண்மையை எப்போதும் மனதில் பதித்து வைத்துக் கொள்ளுங்கள்.